Перевод чисел в различные системы счисления с решением
Исходное число записано в -ой системе счисления.
Хочу получить запись числа в -ой системе счисления.
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
| Число: | 5 | 9 | 2 | 1 |
| Позиция: | 3 | 2 | 1 | 0 |
Пример 2. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
| Число: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Позиция: | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.
Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью. Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.
ПР 10 Перевод чисел из десятичной системы счисления в другие системы счисления
Цель : Сформировать умение переводить числа из десятичной системы счисления в другие.
Набор этих цифр называется алфавитом системы счисления.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Если для каждого числа системы счисления выполняется правило: вес цифры (ее значение) зависит от положения цифры в числе, такая система счисления называется позиционной. Если хотя бы для одного числа это правило не выполняется, система счисления называется непозиционной.
Количество цифр в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.
При записи чисел в различных системах счисления принято записывать основание системы счисления справа внизу возле числа. Например, число 6 в восьмеричной системе счисления записывают: 68. (Если основание системы счисления справа внизу возле числа не указано, считается, что это десятичная система счисления.)
Для перевода десятичного числа в другую систему счисления необходимо:
1) делить нацело с остатком число на нужное основание системы счисления;
2) получившееся частное (целое) тоже делить нацело с остатком на это основание;
3) продолжать деления до тех пор, пока частное не получится меньше основания системы счисления;
4) выписать последнее частное и остатки в порядке, обратном их получению
П еревод из десятичной системы счисления в двоичную:
Задача 1: Переведите число 25 из десятичной системы счисления в двоичную
25 10 
_________ 2
Делим с остатком на 2 до тех пор пока не получим частное 1.
25:2=12(ост 1) 12:2=6 ( ост 0) 6:2=3(ост 0) 3:2=1(ост 1)
На этом деление заканчиваем, т.к. 1 на 2 не делится нацело
Выпишем последнее частное и остатки в обратном порядке.
Ответ: 25 10 11001 2
П еревод из десятичной системы счисления в троичную,……, восьмеричную:
Делим на то число, какое основание у новой системы счисления.
Например, для перевода в троичную систему делим на 3, для перевода в шестеричную систему делим на 6, для перевода в восьмеричную систему делим на 8.
Задача 2: Переведите число 571 из десятичной системы счисления в восьмеричную
571 10 _________ 8
Делим с остатком на 8 до тех пор пока не получим частное меньшее 8.
Выпишем последнее частное и остатки в обратном порядке.
Ответ: 571 10 1073 8
Задача 3: Переведите число 357 из десятичной системы счисления в троичную
357 10 _________ 3
Делим с остатком на 3 до тех пор пока не получим частное меньшее 3.
Выпишем последнее частное и остатки в обратном порядке.
Ответ: 357 10 111020 3
Задача 4: Переведите число 123 из десятичной системы счисления в шестеричную
123 10 _________ 6
Делим на 6 до тех пор пока не получим частное меньшее 6.
Выпишем последнее частное и остатки в обратном порядке.
Ответ: 123 10 323 6
П еревод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную
Делим на 16 до тех пор пока не получим число меньшее 16.
7467 10 _________ 16
Делим на 16 до тех пор пока не получим число меньшее 16.
Выпишем остатки в обратном порядке,
Ответ: 7467 10 1 D 2 B 16
Переведите числа в указанные системы счисления.
По окончании урока сдайте тетрадь преподавателю для проверки вычислений.
По окончании работы, нажмите кнопку Ответить, проверьте результаты своей работы. При наличии времени, исправьте ошибки.
В форму обратной связи введите свою Фамилию Имя, № группы, адрес электронной почты и перешлите результат выполнения практической работы преподавателю.
По окончании урока сдайте тетрадь преподавателю для проверки вычислений.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.
Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.
Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
20010 = 110010002 = 3108 = C816
Кратко об основных системах счисления
Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.
Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.
Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.
Перевод в десятичную систему счисления
Перевод из десятичной системы счисления в другие
Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.
Переведем число 37510 в восьмеричную систему:
Перевод из двоичной системы в восьмеричную
Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:
Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную
Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:
| Тетрада | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Цифра | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Перевод из восьмеричной системы в двоичную
Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.
Используем таблицу триад:
Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.
Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную
Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.
Используем таблицу тетрад:
| Цифра | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тетрада | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.
Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот
Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.