Перевод дроби с целой частью в обычную

Перевод смешанного или целого числа в неправильную дробь

Нужна помощь с выполнением работы?

Общие сведения о дробях

Дробь — форма записи рационального числа в виде доли целого.

В стандартном виде дроби записываются так: \( \frac mn.\)

Число над чертой называется числителем, под ней — знаменателем. Такую запись можно передать словами, как m частей из n, причем \(\frac nn\) равняется единице.

Например, \(\frac67\) — это 6 частей из 7.

В такой форме можно записать любое рациональное число, в том числе целое. При этом в качестве знаменателя может выступать любое натуральное число.

Так, единицу можно представить как \(\frac88,\;\frac<13><13>,\;\frac<857><857>\) и так далее.

Для записи чисел больше одного в дробной форме необходимо это число умножить на числитель:

Существует понятие правильных и неправильных дробей.

Правильной называют дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя.

Соответственно, у неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю. Из приведенных выше примеров \( \frac67\) — правильная дробь, а \(\frac88,\;\frac<13><13>,\;\frac<857><857>\) и \(\frac<10>5\) — неправильные.

Формы дробной записи

Как уже описывалось выше, стандартный способ записи обыкновенных дробей — через горизонтальную черту. Числитель помещается сверху, знаменатель — под чертой: \(\frac mn.\)

Также распространена строчная форма записи через наклонную черту: . Так, числитель оказывается слева, знаменатель — справа.

Один из самых распространенных и часто используемых на практике методов записи дробей — десятичная дробь. В этом случае число записывается как результат деления числителя на знаменатель. При этом, целая часть отделяется от остаточной при помощи запятой (в стандарте стран СНГ) или точкой.

Десятичные дроби могут быть конечными и бесконечными. У конечных ограниченное количество знаков после запятой: 0,15; 7,1; 871,986 и т.д. Пример бесконечной десятичной дроби — число \( \mathrm\pi\) . В обычной форме оно выглядит, как \(\frac<22>7\) , в десятичной: 3,1415926535897…

По своей сути, все десятичные дроби являются смешанными числами.

Понятие смешанного числа

Смешанное число — комбинация целочисленной и дробной форм записи рациональных чисел.

По сути, смешанное число — это упрощенный вид записи суммы целого числа и правильной дроби. Например, \(2\frac57\) можно обозначить, как \(2+\frac57\) . Читаться такая запись будет так: «две целых, пять седьмых».

Как соотносятся между собой неправильные дроби и смешанные числа

Неправильные дроби отличаются от правильных тем, что в них числитель больше знаменателя. То есть, если представлять их буквально как операцию деления, то делимое больше делителя. Это значит, что в них содержится целая часть, выделив которую можно получить смешанное число.

Необходимость и алгоритм преобразования

В первую очередь, выделение целой части повышает удобство чтения записанных нецелых чисел и позволяет лучше понимать их значение. Это можно оценить на простом примере: \(\frac<12>5=2\frac25\) . Можно пойти дальше и перевести смешанное число в десятичную дробь: \(2\frac25=2,4\) .

При решении задач зачастую необходимо преобразовать смешанные числа в дробные, так как с ними проще проводить вычисления.

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Чтобы записать смешанное число в форме неправильной дроби необходимо выполнить два действия: умножить целую часть на знаменатель и прибавить полученный результат к числителю.

Этот упрощенный способ преобразования работает на том принципе, что любое целое число можно представить в виде произведения этого числа на единицу. Единицу же в свою очередь можно представить в виде дроби, где числитель равен знаменателю. Разберем предыдущий пример более подробно:

Как выделить из неправильной дроби целую часть

Обратное преобразование работает на принципе, согласно которому, при делении двух некратных друг другу чисел, делимое можно представить в виде суммы кратного делителю числа и некоего остатка. В качестве примера возьмем число из предыдущего пункта:

В этом преобразовании можно пойти дальше и представить смешанное число в виде десятичной дроби. Для этого целая часть отделяется запятой, а операция деления продолжается с остатком, умноженным на 10. Само деление продолжается до тех пор, пока остаток не окажется равен нулю.

В случае с бесконечными десятичными дробями, деление продолжается до тех пор, пока число знаков после запятой не удовлетворит условие задачи. В таком случае, последняя цифра округляется согласно установленным правилам.

Нужно подобрать материалы для студенческой работы?

Источник

Калькулятор дробей

Как перевести смешанную дробь в обыкновенную

Для того, чтобы перевести смешанную дробь в обыкновенную, необходимо к числителю дроби прибавить произведение целой части и знаменателя: i n d = i · d + n d

5 3 4 = 5 · 4 + 3 4 = 23 4

Как перевести обыкновенную дробь в смешанную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в смешанную, необходимо:

1. Поделить числитель дроби на её знаменатель
2. Результат от деления будет являться целой частью
3. Остаток отделения будет являться числителем

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить её числитель на знаменатель.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную

Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:

1. Записать дробь в виде десятичная дробь 1
2. Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
3. Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.

Например, переведем 0.36 в обыкновенную дробь:

1. Записываем дробь в виде: 0.36 1
2. Умножаем на 10 два раза, получим 36 100
3. Сокращаем дробь 36 100 = 9 25

Как перевести дробь в проценты

Для того, чтобы перевести обыкновенную или смешанную дробь в проценты, необходимо перевести её в десятичную дробь и умножить на 100.

Как перевести проценты в дробь

Для того, чтобы перевести проценты в дробь, необходимо получить из процентов десятичную дробь (разделив на 100), затем полученную десятичную дробь перевести в обыкновенную.

Сложение дробей

Алгоритм действий при сложении двух дробей такой:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
3. Выполнить сложение дробей путем сложения их числителей.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Вычитание дробей

Алгоритм действий при вычитании двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
3. Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Умножение дробей

Алгоритм действий при умножении двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
3. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
4. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Деление дробей

Алгоритм действий при делении двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
3. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Источник

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?

Основной алгоритм

На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

Переписать исходную дробь в виде новой дроби: в числителе останется исходная десятичная дробь, а в знаменателе нужно поставить единицу. При этом знак исходного числа также помещается в числитель. Например:

Умножаем числитель и знаменатель полученной дроби на 10 до тех пор, пока в числителе не исчезнет запятая. Напомню: при каждом умножении на 10 запятая сдвигается вправо на один знак. Разумеется, поскольку знаменатель тоже умножается, там вместо числа 1 будут появляться 10, 100 и т.д. Примеры: Алгоритм перехода к обычным дробям

Наконец, сокращаем полученную дробь по стандартной схеме: делим числитель и знаменатель на те числа, которым они кратны. Например, в первом примере 0,75=75/100, при этом и 75, и 100 делятся на 25. Поэтому получаем $0,75=\frac<75><100>=\frac<3\cdot 25><4\cdot 25>=\frac<3><4>$ — вот и весь ответ.:)

Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:

Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной

Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?

Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.

Более быстрый способ

В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:

Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:

Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: $<<10>^>=<<10>^<2>>=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)

Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на $<<10>^>=<<10>^<3>>=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

Наконец, последний пример:

Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

Что делать с целой частью

На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:

Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

Преобразования «на слух»

Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.

А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.

Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:

Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому

А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому

В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому

\[\begin& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end\]

Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.

На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «Переход от обыкновенной дроби к десятичной».

Источник