Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры
Содержание:
Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.
Связь между градусами и радианами
Чтобы установить связь между градусами и радианами, необходимо узнать градусную и радианную меру какого-либо угла. Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла необходимо длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π · r . Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π · r r = π рад.
Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180 ° . Следовательно 180 ° = π рад.
Связь градусов с радианами
Связь между радианами и градусами выражается формулой
Формулы перевода радианов в градусы и наоборот
Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.
Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.
1 р а д = 180 π ° — градусная мера угла в 1 радиан равна 180 π .
Также можно выразить один градус в радианах.
Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.
1 р а д = 180 π ° = 180 3 , 1416 ° = 57 , 2956 °
Значит, в одном радиане примерно 57 градусов
1 ° = π 180 р а д = 3 , 1416 180 р а д = 0 , 0175 р а д
Один градус содержит 0,0175 радиана.
Формула перевода радианов в градусы
Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.
Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы
Пример 1. Перевод из радианов в градусы
Пусть α = 3 , 2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.
Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:
3 , 2 р а д = 3 , 2 · 180 π ° ≈ 3 , 2 · 180 3 , 14 ° ≈ 576 3 , 14 ° ≈ 183 , 4 °
Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.
Формула перевода из градусов в радианы
y ° = y · π 180 р а д
Переведем 47 градусов в радианы.
Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.
Как перевести градусы в радианы
Работы любой сложности
Квалифицированная помощь от опытных авторов
Градусы в радианы
Краткое описание
Угол — это два луча, выходящие из одной точки. Эта точка называется вершиной. Взяв за единицу измерения некий конкретный угол, можно определить величину любого угла, выяснив, сколько раз в нем укладывается такой единичный угол. При измерении угла исходят из двух его свойств:
- Величины равных углов равны.
- Величина суммы двух углов равна сумме их величин.
Если ясно, о чем идет речь, вместо «величина угла» говорят просто «угол».
Равные углы с вершиной в центре окружности будут создавать на ней дуги одинаковой длины. Их сумма будет равняться сумме стягиваемых ими дуг. Поэтому единицы измерения углов можно задавать, указывая, какую часть окружности составляет соответствующая дуга.
В чем можно измерять угол
Наиболее распространены две единицы измерения:
- градус, равный дуге в 1/360 всей окружности;
- радиан — центральный угол, высекающий дугу, равную радиусу окружности.
Существуют еще такие единицы измерения, как град, равный 1/100 прямого угла, оборот, равный полному кругу, тысячная — \(\frac1<2\mathrm\pi\;\times\;1000>\) и румб — 1/32 полной окружности.
Связь между градусами и радианами
Мера угла
На практике чаще всего используют градусы. Их обозначают знаком \(^\circ\;\) .
1/60 градуса — минута, обозначаемая знаком ‘. Секунду обозначают знаком », она составляет 1/3600 доли.
Математики и астрономы предпочитают пользоваться радианом, безразмерной величиной. Это удобнее при рассмотрении тригонометрических функций. Обозначение «рад» при этом обычно опускают. Радиан равен примерно \(57^\circ17’45»\) .
Формула соотношения
Длина дуги, высекаемой углом в a радиан на окружности радиуса R, вычисляется умножением a на R, а для единичной окружности длина дуги и величина угла совпадают.
Так как радиус равен единице, длина единичной окружности будет равна \(2\mathrm\pi\) .
Таким образом, связь радиан и градусов можно выразить формулой
Формулы перевода
Градусы в радианы
Осуществить переход от градусов к радианам можно по формуле
Радианы в градусы
Таблица перевода градусов в радианы
Соотношение двух систем измерения на окружности можно наглядно увидеть на схеме:
Но на практике, чтобы преобразовать одну величину измерения в другую, удобнее пользоваться таблицей:
Примеры расчета градусов и минут в радианы
Пример 1
Перевести 35 градусов в радианы.
Решение
Согласно формуле, нам нужно 35 умножить на число пи и разделить на 180.
Чтобы выполнить перевод минут и секунд, нужно сначала перевести их в градусы.
Пример 2
Перевести в радианы угол \(87^\circ14’21»\) .
Решение
Воспользуемся формулой, подставив найденное значение:
Пример 3
Перевести в радианы угол \(194^\circ19’\) .