Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления - Uchenik.top

Содержание

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
200₁₀ = 11001000₂ = 310₈ = C8₁₆

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Перевод в десятичную систему счисления

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.

Переведем число 375₁₀ в восьмеричную систему:

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Тетрада	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Используем таблицу триад:

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.

Используем таблицу тетрад:

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Тетрада	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Источник

Перевод чисел в различные системы счисления с решением

Исходное число записано в -ой системе счисления.

Хочу получить запись числа в -ой системе счисления.

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число:	5	9	2	1
Позиция:	3	2	1	0

Пример 2. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число:	1	2	3	4	5	6	7
Позиция:	3	2	1	0	-1	-2	-3

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью. Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

Источник

Перевод чисел из недесятичной системы счисления в десятичную.

Перевод осуществляется по следующему правилу:

· исходное число запишем в развернутой форме, используя цифры десятичной системы.

· сложим развернутую запись числа, используя правила десятичной системы счисления.

110010₂ представить в десятичной форме. on_load_lecture()

Здесь в числе 6 цифр, где p = 2, a₅ = 1, a₄ = 1, a₃ = 0, a₂ =0, a₁ = 1, a₀ = 0, поэтому

110010₂ = 1*2 5 + 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 =

= 1*32 + 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 =

461₈ представить в десятичной форме.

461₈ = 4*8 2 + 6*8 1 +1*2 0 =

Арифметические действия.

При работе на ЭВМ программисту приходится работать в различных системах счисления (Табл.2.1). Поэтому рассмотрим правила арифметических действий для указанных выше систем счисления.

Сложение.

Таблица 2.1.Числав некоторых системах счисления

Действие	Результат добавления 1 в системах счисления:
Двоичная	Шестнадцате-ричная	Десятичная
0+0
0+1
0+1+1
0+1+1+1
0+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1	A
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1	B
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1	C
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1	D
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1	E
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1	F
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Вспомним, как складываются два числа в десятичной системе приемом «в столбик», предположим для чисел 56 и 49.

1. Складываем цифры младших разрядов (единицы), т.е. 6 и 9. Получаем 15.

2. Цифру 5 пишем в колонку для единиц, т.е. под цифрами 6 и 9, а 1 переносим в колонку слева для десятков.

3. Теперь в колонке для десятков складываются: 5, 4 и перенесенная 1. Получаем 10.

4. 0 пишем в колонку десятков, а 1 переносим влево в колонку сотен.

Теперь применим те же правила для шестнадцатеричных чисел, предположим для чисел 5B и A9

1. Складываем цифры младших разрядов, т.е. B и 9. Получаем 14₁₆.

2. Цифру 4 пишем в колонку под цифрами B и 9, а 1 переносим в колонку слева.

3. Теперь складываем цифры в колонке слева, т.е.: 5, A и перенесенная 1. Получаем 10₁₆.

4. 0 пишем в колонку под цифрами 5 и A, а 1 переносим в колонку слева.

5B₁₆ = 5*16 + 11 = 80 + 11 = 91

A9₁₆ = 10*16 + 9 = 160 + 9 = 169

104₁₆ = 1*16 2 + 0*16 + 4 = 256 + 0 + 4 = 260

Теперь применим те же правила для двоичных чисел, предположим для чисел 110₂ и 111₂

111₂

1. Складываем цифры младших разрядов, т.е. 0 и 1. Получаем 1 (0 + 1 = 1).

2. Цифру 1 пишем в колонку под цифрами 0 и 1.

111₂

3. Складываем цифры в колонке левее, т.е. 1 и 1. Получаем 10₂.

4. 0 пишем в колонку под цифрами 1 и 1, а 1 переносим в колонку слева.

11₂

6. Теперь складываем цифры в колонке слева, т.е.: 1, 1 и перенесенная 1. Получаем 11₂. (1 + 1 + 1 = 11₂).

7. Цифру 1 пишем в колонку под цифрами 1 и 1, а 1 переносим в колонку слева.

111₂

110₂ = 1*2 2 + 1*2 + 0 = 4 + 2 + 0 = 6

111₂ = 1*2 2 + 1*2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

1101₂ = 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

Вычитание.

Давайте вспомним еще раз, как располагаются разряды в позиционных системах счисления.

· При переносе цифры вправо в соседний разряд, к цифре справа добавляется 0 (Рис. 2.3.).

Вычтем из 56 число 49 в десятичной системе приемом «в столбик».

1. Рассмотрим цифры младших разрядов (единицы), т.е. 6 и 9.

2. Если из большей цифры вычитаем меньшую цифру, то пишем разность в младшем разряде (единицы).

3. Если из меньшей цифры вычитаем большую цифру, то из соседнего слева разряда вычитаем 1 и переносим ее вправо, приписывая к ней справа 0. Полученное число 10 прибавляем к меньшей цифре и делаем вычитание. У нас 6 меньше 9 (6

(1) 10