Представление синусоидальных электрических величин временными диаграммами, векторами и комплексными числами
Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи можно изображать графически в виде соответствующих синусоид, такие графики в электротехнике называют волновыми диаграммами (см. рис. 13).
Обычно на одной волновой диаграмме изображают несколько синусоид переменных величин (напряжений, токов), относящихся к одной и той же цепи. Для оценки их взаимного расположения вдоль оси абсцисс вводится разность их начальных фаз, называемая фазовым сдвигом. Чаще всего встречается фазовый сдвиг между током и напряжением.
Если 
, то говорят, что напряжение опережает ток по фазе, при 
напряжение отстает по фазе от тока, при 
напряжение и ток совпадают по фазе, а если 
, то напряжение и ток находятся в противофазе.
Волновые диаграммы не всегда удобны для исследования, особенно при сложных разветвленных цепях. Проще в этом случае изображать синусоидальные величины вращающимися векторами. Изобразим вращающийся вектор, соответствующий току:
 | Длина отрезка ОА в принятом масштабе равна амплитуде тока  . Проекция вектора на ось ординат (ОВ) равна мгновенному значению тока в момент времени  . При вращении вектора в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки) с угловой скоростью в любой момент времени  его проекция на ось ординат будет равна соответствующему мгновенному значению тока: |
Любой вектор на плоскости, проведенный из начала координат и изображающий значение ЭДС, напряжения или тока, однозначно определяется точкой, соответствующей концу этого вектора (точка 
на рисунке).
Комплексное число (соответствующее точке ) имеет вещественную (ОС) и мнимую (ОВ) составляющие на комплексной плоскости.
Представленная форма записи называется алгебраической формой комплексного числа.
Кроме алгебраической существует показательная форма записи комплексного числа:
где — модуль (длина) вектора 
— поворотный множитель
— аргумент, т.е. угол, на который повернут вектор в положительном направлении относительно вещественной оси.
Перевод комплексных чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:
; 
; 
При сложении и вычитании комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой записи:
При умножении, делении, возведении в степень удобно пользоваться показательной формой
Если комплексное число 
, то комплексное число 
называется сопряженным комплексным числом.
Синусоидальное ЭДС можно представить комплексным числом:
Для напряжения и тока аналогично.
При расчетах цепей синусоидального тока целесообразно перейти от гармонических функций времени к их изображениям в комплексной форме и производить все расчеты, используя комплексные числа. Конечный результат может быть представлен снова в виде синусоидальной функции времени.
Закон Ома в комплексной форме
В процессе расчетов электрических цепей переменного синусоидального тока часто бывает полезен Закон Ома в комплексной форме. Под электрической цепью здесь понимается линейная цепь в установившемся режиме работы, то есть такая цепь, в которой переходные процессы завершились и токи установились.
Падения напряжений, ЭДС источников и токи в ветвях такой цепи являются попросту тригонометрическими функциями времени. Ежели даже в установившемся режиме форма тока в цепи не является синусоидой (меандр, пила, импульсные помехи), то и Закон Ома в комплексной форме будет уже не применим.
Так или иначе, всюду в промышленности сегодня применяется система трехфазного переменного синусоидального тока. Напряжение в таких сетях имеет строго определенные частоту и действующее значение. Действующее значение «220 вольт» или «380 вольт» можно встретить в маркировках на разнообразном оборудовании, в технической документации на него. Именно по этой причине, по причине столь явной унификации, Закон Ома в комплексной форме и удобен во многих расчетах электрических цепей (где он применяется совместно с Правилами Кирхгофа).
Не всегда можно просто взять и поделить падение напряжения на ток, иногда важно учесть характер участка цепи, и это вынуждает нас вносить в математику определенные дополнения.
Символьный метод (метод с комплексными числами) позволяет избавиться от надобности решать дифференциальные уравнения в процессе расчета электрической цепи синусоидального тока. Ибо в цепи переменного тока бывает такое, что ток например есть, а падения напряжения на участке цепи нет; или падение напряжения есть, а тока в цепи нет, в то время как цепь, казалось бы, замкнута.
В цепях постоянного тока такое просто невозможно. Вот почему для переменного тока и Закон Ома отличается. Разве что для чисто активной нагрузки в однофазной цепи он может применяться почти без отличий от расчетов с током постоянным.
Комплексное число состоит из мнимой Im и вещественной Re части, при этом его можно представить вектором в полярных координатах. Для вектора будет характерен некий модуль и угол, на который он повернут вокруг начала координат относительно оси абсцисс. Модуль есть амплитуда, а угол — начальная фаза.
Запись данного вектора можно произвести в тригонометрической, показательной или алгебраической формах. Это и будет символьное изображение реальных физических явлений, ибо в реальности мнимых и вещественных характеристик в цепях на самом деле нет. Это лишь удобный метод решения электротехнических задач с цепями.
Комплексные числа можно делить, умножать, складывать, возводить в степень. Эти операции необходимо уметь выполнять чтобы мочь применять Закон Ома в комплексной форме.
Сопротивления в цепях переменного тока подразделяют на: активное, реактивное и полное. Кроме того следует отличать проводимость. Электроемкость и индуктивность обладают реактивными сопротивлениями переменному току. Реактивные сопротивления относятся к мнимой части, а активное сопротивление и проводимость — к части вещественной, то есть к вполне реальной.
Традиционно токи, падения напряжений и ЭДС записывают в тригонометрическом виде, где учитываются как амплитуда, так и фаза, что вполне явно отражает физический смысл явления. Однако угловая частота у напряжений и токов может отличаться, поэтому практически более удобна алгебраическая форма записи.
Наличие угла между током и напряжением приводит к тому, что во время колебаний существуют такие моменты, когда ток (или падение напряжения) равен нулю, а падение напряжения (или ток) не равно нулю. Когда напряжение и ток находятся в одной фазе, то угол между ними кратен 180°, и тогда если падение напряжения равно нулю, то и ток в цепи равен нулю. Речь о мгновенных значениях.
Итак, понимая алгебраическую запись, можно записать теперь Закон Ома в комплексной форме. Вместо просо активного сопротивления (свойственного цепям постоянного тока) здесь будет записываться полное (комплексное) сопротивление Z, а действующие значения ЭДС, токов и напряжений — станут комплексными величинами.
Во время расчета электрической цепи с применением комплексных чисел, важно помнить, что данный метод применим только к цепям синусоидального тока и именно в установившемся режиме работы.
Комплексное напряжение
Символический метод расчета
Электрических цепей переменного
Синусоидального тока
КОМПЛЕКСНЫЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Математическое введение (формула Эйлера)
Между синусоидальными и экспоненциальными (показательными) функциями существует простая зависимость, которая получила название формулы Эйлера,
,
где 
— мнимая единица. В частности, если 
,
.
Формула Эйлера применяется для перевода комплексных чисел из показательной формы в алгебраическую. В показательной форме комплексное число 
содержит модуль z и аргумент 
:
.
В алгебраической форме комплексное число имеет действительную часть x и мнимую часть y:
.
, 
. (4.1)
Решив эти уравнения относительно 
и , получаем формулы для перевода комплексных чисел из алгебраической формы в показательную
, 
. (4.2)
В задачах электротехники пределы изменения обычно выбирают в пределах от 
до 
и вычисляют по формуле
Для запоминания формул (4.1) и (4.2), предназначенных для перевода комплексных чисел из одной формы записи в другую, можно использовать треугольник, похожий на треугольник сопротивлений (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Треугольник, иллюстрирующий зависимости между действительной и мнимой частями комплексного числа, с одной стороны, и его модулем и аргументом, с другой стороны
Комплексный ток
В электрической цепи с источником синусоидального напряжения протекают синусоидальные токи. Пусть один из них равен
,
где I — действующее значение тока. Запишем соответствующую косинусоидальную функцию
.
Затем с помощью формулы Эйлера составим комплексную функцию
.
Множитель 
одинаков для всех токов цепи. Комплексное число 
характеризует ток рассматриваемой ветви.
| И 4.1 | Определение. Комплексное число называют комплексным током. Модуль комплексного тока равен действующему значению синусоидального тока, аргумент комплексного тока – начальной фазе синусоидального тока. |
Комплексное напряжение
Синусоидальному напряжению можно сопоставить комплексное напряжение аналогично тому, как синусоидальному току был поставлен в соответствие комплексный ток:
.
Здесь U – действующее значение напряжения; 
— его начальная фаза.
| И 4.2 | Определение. Комплексное число  называют комплексным напряжением. Модуль комплексного напряжения равен действующему значению синусоидального напряжения, аргумент комплексного напряжения – начальной фазе синусоидального напряжения. |
Преобразование синусоидальных токов и напряжений в комплексные числа (комплексные токи и напряжения) позволяет преобразовать тригонометрические уравнения, составленные по законам Кирхгофа для синусоидальных токов и напряжений, в алгебраические уравнения для комплексных токов и напряжений. Благодаря тому, что в уравнениях для комплексных токов можно опустить множитель , общий для всех токов, решение алгебраических уравнений оказывается не столь громоздким, как решение тригонометрических уравнений. Решив систему уравнений Кирхгофа относительно комплексных токов, можно затем по комплексным токам определить синусоидальные токи.