Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления
Основные понятия
Система счисления – это совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.
Используются три типа систем счисления:
· позиционная – представление числа зависит от порядка записи цифр.
· непозиционная – представление числа не зависит от порядка записи цифр
· смешанная – нет понятия «основание»: либо оснований несколько, либо оно вычисляемое
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7∙10 2 + 5∙10 1 + 7∙10 0 + 7∙10 -1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения
где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.
Таблица 1. Эквиваленты чисел в различных системах счислений
| Системы счисления | |||
| Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F |
Преобразование чисел из одной системы счисления в другую
Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления
При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.
c. в шестнадцатеричную:
Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления
При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.
Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.
Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления.
В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:
Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как
Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.
Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?
Возьмем, например, число . Отлично смотрится в десятичной системе счисления. Но вот если попробовать получить запись этого числа в двоичной системе счисления — будут проблемы. Попробуем, пока не устанем
Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0.8 в десятичной системе это 0.11001100. (дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100. будет продолжаться до бесконечности.
Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.
Вес крайнего правого разряда (самого младшего разряда) называется разрешением (resolution) или точностью (precision), и определяет наименьшее неравное нулю число, которое может быть представлено данным числом разрядов. Для нашего примера это . При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.
Перевод дробных чисел из одной системы
Счисления в другую
Примеры перевода правильных дробей в десятичную систему счисления.
1. Перевести в десятичную систему счисления число 0,10102
0,10102= 1×2 -1 + 0×2 -2 + 1×2 -3 + 0×2 -4 = 0,5 + 0,125 = 0,62510;
2. 
Перевести в десятичную систему счисления число 0,92416
0,92416 = 9×16 -1 + 2×16 -2 + 4×16 -3 = 9/16 + 2/256 + 4/4096 = = 2340/4096 = 0,571289062510 .
Перевод десятичной дроби в другую систему счисления производится в следующей последовательности:
— умножить исходную дробь на основание новой системы счисления;
— выделить из полученного результата целую часть и принять ее за цифру очередного разряда искомой дроби;
— если достигнута требуемая точность, то дальнейшие действия прекращаются, в противном случае из последнего результата умножения выделяется дробная часть, принимается за исходное число и описанная выше последовательность действий повторяется;
— искомая дробь в новой системе счисления записывается в виде последовательности целых частей полученных произведений, начиная с первого.
Пример
Перевести в двоичную систему счисления десятичную
дробь 0,231510 (с точностью до 5 знаков после запятой)
´2 = 0 4630
´ 2 = 09260
´ 2 = 18520
´ 2 = 17040
´2 = 14080
´ 0,231510 = 0,001112 …
Перевод неправильных дробей из одной системы счисления в другую выполняется по описанным выше правилам отдельно для целой и дробной частей.
Примеры
1. Перевести в двоичную систему счисления число 72,4110
72,4110 = 7210 + 0,4110
| |
72 2
— 72 36 2
0 — 36 18 2
0 — 18 9 2
0 — 8 4 2
1 — 4 2 2
0 — 2 1
7210=10010002 0
Перевод числа 0,4110 в двоичную систему счисления производится по описанному выше алгоритму перевода десятичной дроби в другую систему счисления. В результате перевода получено следующее число:
72,4110 = 1001000,0110100…2 .
2. Перевести двоичное число в шестнадцатиричную систему счисления (путем разбиения на тетрады: для целой части справа налево, для дробной – слева направо)
1011,0111012 = 1011 , 01110100 2 = В,7416 .
Выполнение арифметических операций над числами
Арифметические операции над двоичными числами выполняются по тем же правилам, что и аналогичные операции над десятичными числами, а именно:
 | |
Двоичная Двоичная Двоичная
таблица сложения таблица вычитания таблица умножения
0 + 0 = 0 0 — 0 = 0 0 ´ 0 = 0
1 + 0 = 1 1 — 0 = 1 1 ´ 0 = 0
1 + 0 = 1 1 — 1 = 0 0 ´ 1 = 0
1 + 1 = 10 10 — 1 = 1 1 ´ 1 = 1
Пример
Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления
+ 10011,110- 110001,1010
11001001 11011101101 1001
´ 1001 — 1001 11000101
11001001 1001
+ 11001001 — 1001
1001
— 1001
Кодирование алфавитно-цифровой информации
В разное время и для разных моделей компьютеров были разработаны разные коды для кодирования числовой и текстовой информации.
Рассмотрим некоторые из них.
1. Двоично-десятичный код.Используется для кодирования числовой информации. Каждая цифра представляется 4-х разрядным двоичным числом (табл. 2).
Таблица 2
Пример
Представить десятичное число 92710 в двоично-десятичном коде
92710 = 100100100111 2-10 код .
2. Код ASCII (American Standard Code for Information Interchange).Используется для кодирования чисел и текстовой информации в современных персональных компьютерах. В ASCII символы с кодами от 0 до 127 используются для представления цифр, знаков арифметических операций, букв латинского алфавита, знаков пунктуации. Символы с кодами от 128 до 255 являются дополнительными и используются для букв национальных алфавитов и символов псевдографики. В странах СНГ наиболее широкое распространение получила русская альтернативная дополнительная таблица, которая приведена в [1].
Пример
Представить фамилию Иванов в коде ASCII (используя таблицу ASCII кодов, [1, стр. 14])