Перевод в разные системы счисления как переводить
Правила перевода целых чисел
Результатом является целое число.
1. Из десятичной системы счисления — в двоичную и шестнадцатеричную:
- исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;
- если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
- все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
- формируется результирующее число: его старший разряд — полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа — первый остаток от деления, а старший — последнее частное.
Пример 3.1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления: 
Пример 3.2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления: 
Пример 3.3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления: 
2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления — в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.
Пример 3.4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления. Имеем:
1316 = 1*16 1 + 3*16 0 = 16 + 3 = 19.
Таким образом, 1316 = 19.
Пример 3.5. Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему счисления. Имеем:
100112 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16+0+0+2+1 = 19.
Таким образом, 100112 = 19.
3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
- исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;
- каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей
Пример 3.6. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:
4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:
- каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;
- незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.
Пример 3.7. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления.
По таблице имеем: 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями 12 = 00012; 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями 112 = 00112. Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.
- исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);
- в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается — она является старшей цифрой получаемой дроби;
- оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).
- процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;
- формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.
Пример 3.8. Выполнить перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.
Имеем:
В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.
Таким образом, 0,847 = 0,11012.
Пример 3.9. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.
В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0,847 = 0,D8D2.
2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления — в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле, причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей.
Пример 3.10. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,11012. Имеем:
0,11012 = 1*2 -1 + 1*2 -2 + 0*2 -3 +1*2 -4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.
Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.
Таким образом, 0,11012 = 0,8125.
Пример 3.11. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,D8D16. Имеем:
0,D8D16 = 13*16 -1 + 8*16 -2 + 13*16 -3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,84692.
Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.
Таким образом, 0,D8D16 = 0,84692.
3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
- исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;
- каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.
Пример 3.12. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,11012. Имеем:
0,11012 = 0,11012 В соответствии с таблицей 11012 = D16. Тогда имеем 0,11012 = 0,D16.
Пример 3.13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,00101012.
Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль: 0,00101012 = 0,001010102. В соответствии с таблицей 00102 = 102 = 216 и 10102 = A16. Тогда имеем 0,00101012 = 0,2A16.
4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:
- каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей;
- незначащие нули отбрасываются.
Пример 3.14. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16.
По таблице имеем 216 = 00102 и А16 = 10102. Тогда 0,2А16 = 0,001010102.
Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0,2А16 = 0,00101012.
Правило перевода дробных чисел
Отдельно переводится целая часть числа, отдельно — дробная. Результаты складываются.
Пример 3.15. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.
Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:
19,847 = 19 + 0,847.
Как следует из примера 3.2, 19 = 1316; а в соответствии с примером 3.9 0,847 = 0,D8D16. Тогда имеем:
19 + 0,847 = 1316 + 0,D8D16 = 13,D8D16.
Таким образом, 19,847 = 13,D8D16.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.
Система счисления — это способ представления числа. Одно и то же число может быть представлено в различных видах. Например, число 200 в привычной нам десятичной системе может иметь вид 11001000 в двоичной системе, 310 в восьмеричной и C8 в шестнадцатеричной.
Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.
Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
20010 = 110010002 = 3108 = C816
Кратко об основных системах счисления
Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.
Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.
Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.
Шестнадцатеричная система счисления. Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 — красный цвет. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают числа 10,11,12,13,14,15.
Перевод в десятичную систему счисления
Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную можно следующим образом: каждый разряд числа необходимо умножить на X n , где X — основание исходного числа, n — номер разряда. Затем суммировать полученные значения.
Перевод из десятичной системы счисления в другие
Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.
Переведем число 37510 в восьмеричную систему:
Перевод из двоичной системы в восьмеричную
Для перевода в восьмеричную систему нужно разбить двоичное число на группы по 3 цифры справа налево. В последней (самой левой) группе вместо недостающих цифр поставить слева нули. Для каждой полученной группы произвести умножение каждого разряда на 2 n , где n — номер разряда.
Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:
Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную
Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2 n , где n — номер разряда, и сложим результаты.
Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:
| Тетрада | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Цифра | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Перевод из восьмеричной системы в двоичную
Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.
Используем таблицу триад:
Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.
Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную
Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.
Используем таблицу тетрад:
| Цифра | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тетрада | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.
Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот
Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку «Перевести». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения
Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:
| число | 6 | 3 | 7 | 2 |
| позиция | 3 | 2 | 1 | 0 |
Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
| число | 1 | 2 | 8 | 7 | . | 9 | 2 | 3 |
| позиция | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 |
Тогда число 1287.923 можно представить в виде:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .
В общем случае формулу можно представить в следующем виде:
где Цn-целое число в позиции n, Д-k— дробное число в позиции (-k), s — система счисления.
Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7>, в двоичной системе счисления — из множества цифр <0,1>, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F>, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.
В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.
| Таблица 1 | |||
|---|---|---|---|
| Система счисления | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
1·2 6 + 0 ·2 5 + 1·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 + 0·2 -1 + 0·2 -2 + 1·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
Пример 3. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:
Здесь A -заменен на 10, B — на 11, C— на 12, F — на 15.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.
Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.
Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
| 159 | 2 | ||
| 158 | 79 | 2 | |
| 1 | 78 | 39 | 2 |
| 1 | 38 | 19 | 2 |
| 1 | 18 | 9 | 2 |
| 1 | 8 | 4 | 2 |
| 1 | 4 | 2 | 2 |
| 0 | 2 | 1 | |
| 0 |
Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:
Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:
Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.
Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.
Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).
Рассмотрим вышеизложенное на примерах.
Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.214 | |
| x | 2 |
| 0 | 0.428 |
| x | 2 |
| 0 | 0.856 |
| x | 2 |
| 1 | 0.712 |
| x | 2 |
| 1 | 0.424 |
| x | 2 |
| 0 | 0.848 |
| x | 2 |
| 1 | 0.696 |
| x | 2 |
| 1 | 0.392 |
Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0. 0011011.
Следовательно можно записать:
Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.125 | |
| x | 2 |
| 0 | 0.25 |
| x | 2 |
| 0 | 0.5 |
| x | 2 |
| 1 | 0.0 |
Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:
Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 0.214 | |
| x | 16 |
| 3 | 0.424 |
| x | 16 |
| 6 | 0.784 |
| x | 16 |
| 12 | 0.544 |
| x | 16 |
| 8 | 0.704 |
| x | 16 |
| 11 | 0.264 |
| x | 16 |
| 4 | 0.224 |
Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:
Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.
| 0.512 | |
| x | 8 |
| 4 | 0.096 |
| x | 8 |
| 0 | 0.768 |
| x | 8 |
| 6 | 0.144 |
| x | 8 |
| 1 | 0.152 |
| x | 8 |
| 1 | 0.216 |
| x | 8 |
| 1 | 0.728 |
Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:
Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим: