Вавилонская система счисления: принцип построения и примеры
Вавилонская система счисления, возникшая за тысячи лет до наступления новой эры, была началом начала математики. Несмотря на свой древнейший возраст, она поддалась расшифровке и раскрыла исследователям множество тайн Древнего Востока. Мы тоже сейчас окунемся в прошлое и узнаем, как считали древние.
Основные характеристики
Итак, самое важное, что нужно знать – вавилонская система счисления является позиционной. Это значит, что запись чисел производится справа налево и в порядке убывания. На первом месте стоит сотня, затем десяток, а потом единица. Для древней математики данный аспект крайне важен, так как в Египте, например, система была непозиционной, и цифры в числе записывались в хаотичном порядке, что вызывало путаницу. Вторая характеристика – в вавилонской системе присутствовала шестидесятеричная цикличность. Отсчет заканчивался на каждом шестом десятке, а чтобы продолжить числовой ряд отмечался новый разряд, и запись снова начиналась с единицы. В целом вавилонская система счисления совсем не сложная, ее сможет освоить даже школьник.
История возникновения
Достоверно известно, что Вавилонское царство было построено на руинах двух могущественных держав – Шумера и Аккада. От этих цивилизаций осталось много культурного наследия, которым очень мудро распорядились вавилоняне. У шумеров они позаимствовали шестеричный числовой ряд, в котором присутствовали разряды, а у аккадцев – десятки. Объединив наработки своих предков, жители нового государства стали создателями новой науки, которая получила название «математика». Вавилонская шестидесятеричная система счисления дала понять, что позиционность – крайне важный фактор в записи чисел, потому в дальнейшем по данному принципу были созданы римские, греческие и арабские цифры. До сих пор мы отмеряем величины десятками, будто бы разделяя с их помощью число на разряды. Ну а что касается шестеричного цикла, то взгляните на циферблат часов.
Запись вавилонских цифр
Чтобы запомнить числовой ряд древних вавилонян, особых усилий прикладывать не придется. В математике они использовали лишь два знака – вертикальный клин, который обозначал единицу, и «лежачий» или горизонтальный клин, показывающий десяток. Подобные цифры имеют нечто общее с римскими, где встречаются палочки, галочки и крестики. Количество тех или иных клиньев показывало, сколько десятков и единиц в конкретном числе. В подобной технике отсчет производился до 59-ти, после чего перед числом записывали новый вертикальный клин, который на этот раз уже считался как 60, и отмечался разряд в виде маленькой запятой вверху. Имея в своем арсенале разряды, жители Вавилонского царства избавили себя от невероятно длинных и запутанных чисел-иероглифов. Достаточно было посчитать количество маленьких запятых и клиньев, которые находились между ними, как сразу становилось понятно, какое число перед вами.
Математические операции
Исходя из того, что вавилонская система счисления была позиционной, сложение и вычитание происходило по знакомой нам схеме. Нужно было сосчитать количество разрядов, десятков и единиц в каждом числе и после сложить их или отнять от большего меньшее. Занятно, что и принцип умножения в то время был таким же, как сегодня. Если необходимо было умножить небольшие числа, пользовались многократным прибавлением. Если же в примере стояли трех и более значные показатели, пользовались специальной таблицей. Вавилоняне изобрели множество таблиц умножения, в каждой из которых одним из множителей был определенный десяток (20, 30, 50, 70 и т.д.).
От предков к современникам
Прочитав все это, вы наверняка зададитесь вопросом: «Каким образом вавилонская система счисления, примеры, которыми пользовались древние, и задачи дошли в подобной точности до рук современных археологов?» Все дело в том, что в отличие от других цивилизаций, которые пользовались папирусом и клочками ткани, вавилоняне использовали глиняные таблички, на которых записывали все свои наработки, в том числе и математические открытия. Данная техника получила название «клинопись», так как на свежей глине специально заточенным клинком выводились символы, цифры и рисунки. По завершении работы таблички высушивали и складывали в хранилища, в которых они смогли продержаться до наших дней.
Подведение итогов
В выше представленных изображениях мы четко видим, что из себя представляла и как записывалась вавилонская система счисления. Фото глиняных табличек, которые создавались в древние времена, немного отличаются от современных так сказать «расшифровок», но принцип остается прежним. Для Вавилона возникновение математики было неминуемым фактором, так как эта цивилизация была одной из ведущих в мире. Они возводили колоссальные на те времена постройки, делали немыслимые астрономические открытия и строили экономику, благодаря которой государство становилось процветающим и благополучным.
Так считали древние. Вавилон
Это продолжение задуманной мной серии про историю вычислений и счета. Первая статья про Египет здесь.
Сейчас я попробую немного рассказать о другой великой цивилизации и культуре прошлого. Вавилонское царство возникло в начале 2-го тысячелетия до нашей эры, оно пришло на смену Шумеру и Аккаду и существовало до завоевания Персами в 539 г. до н.э. Писали в Вавилоне, как все помнят, на глиняных табличках с помощью клинописи, которые очень неплохо сохраняются в отличие от бумаги, папируса, и подобных вещей, поэтому мы знаем достаточно много и про Вавилон, и про его математику. Но, конечно, мы не знаем всего. В отличие от греков вавилоняне не оставили точных алгоритмов и ясных объяснений своих приемов. Теперь мы можем только догадываться как именно вавилоняне действовали в том или ином случае при решении задачи. В этой работе я сосредточусь в основном на вавилонской арифметике, оставив в стороне геометрию, алгебру и астрономию.
Вавилоняне в математике продвинулись намного дальше египтян, насколько нам известно, хотя и не сравнялись с греками, видимо. Они уже умели решать квадратные уравнения, кроме того имели некоторые зачатки числовой алгебры. Одно из их достижений было введение позиционной шестидесятеричной системы счисления без нуля. Это означает, что обращение с числами стало значительно более гибким и простым, чем в Египте. Точно не известно, откуда взялась такая система. Одна из версии говорит, что к ней привело смешение 6-ичной и 10-ичной систем народов Шумера и Аккада. Но существуют и другие мысли на этот счет.
Эта система, к сожалению (может и к счастью, не хотелось бы учить их таблицу умножения) не была освоена другими народами Древнего Мира, и пришлось ждать прихода индийской позиционной системы. Однако, кое-какое отражение вавилонской математики в нашей культуре осталось: деление минуты на шестьдесят секунд и часа на 60 минут — это отзвук древней вавилонской системы счисления.
Цифры и система счисления
На картинке показано, как вавилоняне обозначали 1 и 10. С их помощью изображались все числа от 1 до 59. На картинке ниже показано число 33. Это аналогично римской и другим непозиционным системам записи чисел.
Число 60 обозначалось точно так, как и единица. В начале оно рисовалось крупнее, но позже это различие стерлось. Числа больше 60, но меньше, чем 120 обозначались следующим образом: сначала писалось число 60, потом через пробел остальная часть числа, меньшая 60.
Ниже пример числа 63
Вавилонская система счисления
Вавилонская система счисления — это позиционная система счисления с основанием шестьдесят.
Введение
Вавилонская шестидесятеричная система счисления существовала в Древнем Вавилоне. Есть разные мнения по вопросу возникновения этой системы, в частности существуют такие предположения:
- Было объединение двух племенных сообществ, каждое из которых использовало свою систему счисления. Одно пользовалось шестеричной системой, второе — десятичной и, чтобы достигнуть согласия в этом вопросе, они сообща основали шестидесятеричную систему.
- В древнем Вавилоне использовалось летоисчисление, где в году было 360 суток. Это число коррелирует с числом шестьдесят. Кстати, и сегодня час равен шестидесяти минутам.
В общем, шестидесятеричная система счисления весьма неудобна и громоздка.
Вавилонская системы счисления
Вавилонская система счисления сформировалась в Древнем Вавилоне две тысячи лет до нашей эры. Она оказала сильнейшее влияние на развитие будущей письменности. Шестидесятеричная система счисления является первой известной системой, которая основана на позиционном принципе. Она стимулировала прогресс математических, астрономических и других наук, появившихся позднее.
Готовые работы на аналогичную тему
Доказано, что Вавилонское государство появилось на остатках двух распавшихся империй, Шумера и Аккада. Эти цивилизации оставили после себя большое культурное наследие, которое досталось мудрым вавилонянам. Шумеры оставили им шестеричный числовой код, где имелись в наличии разряды, а аккадцы оставили десятки. Объединение наработок предыдущих поколений, позволило гражданам новой страны создать новую науку, получившую обозначение «математика». Прогресс человеческого общества всё время сопровождался совершенствованием числовой записи, которую нужно было использовать достаточно часто. У различных народностей в разное время применялись разнообразные системы подсчёта. В шестидесятеричной применялись два типа символов. Прямой клин обозначал единицы, лежащий клин служил обозначением десятков. То есть клин в данной системе применяется в качестве цифры. Для обозначения числа шестьдесят применялся такой же прямой клин, как и для единицы. Такой же клин обозначал и все другие числа шестьдесят в разных степенях. Собственно, по этой причине вавилонская система счисления и считается шестидесятеричной. Для определения числового значения конкретного прямого клина, необходимо было написание данного числа разделить на разрядные символы справа налево. Вес числа определялся по сумме его цифровых разрядов, но при учёте правила, что вес цифры в следующем разряде в шестьдесят раз больше предыдущей.
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Выучить Вавилонскую таблицу умножения было крайне трудно, вернее фактически невозможно. Поэтому при практических расчётах люди использовали справочные таблицы умножения. В общем шестидесятеричная система достаточно объёмна и применять её для расчётов было не очень удобно. Но она явилась сильнейшим стимулом к появлению в будущем новых систем счисления. Сегодня можно уверенно утверждать, что именно благодаря вавилонской системе мы теперь пользуемся десятичной системой счисления.
Особенности вавилонской системы счисления
Древневавилонская система счисления не была позиционной в полном смысле этого понятия, так как в ней не было аналога сегодняшней десятичной запятой и какого-либо знака (типа ноля), обозначающего отсутствие данного разряда. О конкретном весовом значении символа надо было догадаться из контекста. Но уже во время управления государством Селевкидами (примерно трёхсотые годы до нашей эры), это недоразумение было ликвидировано путём введения особой символики в форме двух клиньев, которые ставились на место отсутствующего разряда в обозначении числа. Но при этом археологи не нашли ни единой записи, где обозначение ноля располагалось бы последним знаком в числе. По этой причине вавилонская система, всё-таки, только относительно позиционная, поскольку символ в крайней правой части числа мог быть обозначением или единицы, или числа, кратного степени шестьдесят. Символика, обозначающая числа на табличках из глины времён древнего Вавилона не такая точная, как на папирусах древнего Египта, невзирая на применение позиционного принципа.
Иногда вавилоняне использовали сокращения при отображении чисел, а иногда применяли новую символику, чтобы обозначить числа сто и тысяча, или пользовались принципами арифметических операций. Преимущество сформированной в Месопотамии системы счисления чётко прослеживается в написании дробей. Тут не нужно было использовать новые символы. Аналогично сегодняшней десятичной позиционной системе, в шестидесятеричной системе имелось ввиду, справа от единиц располагаются числа, которые кратны 1/60, затем 1/602 и так далее.
Для отображения чисел, больших пятьдесят девять древние вавилоняне первыми применили метод, который считается одним из самых больших открытий в числовых системах, это позиционность, то есть зависимость числового веса знака от его расположения в общей структуре числа. Они поняли, что для отображения более старших разрядов возможно использовать уже имеющуюся символику, если она займёт в представлении числа другое местоположение, то есть слева от других знаков. К примеру, знак в виде клина возможно было применять для отображения чисел единица, и шестьдесят, и шестьсот два, и шестьсот три, смотря какое положение он занимал в числовой записи. Аналогично использованию в современных обозначениях единицы в числах 10, и 102 и 103, и в 1111. Когда записывались числа более шестидесяти, символы, которые выступали в новой роли, можно было отличить от уже использованных тем, что они делились согласно «месту», или «позициям», и единицы старших разрядов были расположены слева. При этой методике записи для отображения очень большого числа нет необходимости в применении символики помимо уже используемой.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь