Системы счисления. Перевод чисел в позиционных системах счисления
Тема урока: “Системы счисления. Перевод чисел в позиционных системах счисления”
Тип урока: урок первичного предъявления новых знаний
Технология: адаптивный урок с элементами КСО
Время проведения: 3-4 урок по теме “Представление числовой информации”
1. Организационный момент
3. Проверка домашнего задания (запись чисел в позиционных системах счисления в развернутом виде). Разбор примеров на доске:
10111002=
101110112=
1378=
2618=
16F16=
4CA16=
4. Постановка цели урока
5. Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления (на примерах из домашнего задания)
Чтобы перевести число из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления, надо А. Записать данное число в развернутом виде;
Б. Вычислить полученное выражение с помощью десятичной арифметики.
10111002==64+16+8+4=92
101110112==128+32+16+8+2+1=187
1378==64+24+7=95
2618==128+48+1=177
16F16== 256+96+15=367
4CA16== 1024+192+10=1226
6. Самостоятельная работа (с последующей проверкой):
11000112= 
=64+32+2+1=99
1010010112=
=
2318=
=128+24+1=153
4278=
=256+16+7=279
E4116= 
=3584+64+1=3649
AB316=
= 2560+176+3=2739
7. Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую позиционную систему счисления. Разбор примеров на доске
Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в другую позиционную систему счисления, надо разделить данное число на основание той системы счисления, в которую мы хотим данное число перевести, по следующим правилам: А. Число надо последовательно делить до тех пор, пока частное не окажется меньше основания;
Б. Цифрами числа будут являться остатки от деления и последнее частное;
В. Запись числа осуществляется справа налево.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.
Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.
Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
20010 = 110010002 = 3108 = C816
Кратко об основных системах счисления
Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.
Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.
Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.
Перевод в десятичную систему счисления
Перевод из десятичной системы счисления в другие
Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.
Переведем число 37510 в восьмеричную систему:
Перевод из двоичной системы в восьмеричную
Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:
Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную
Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:
| Тетрада | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Цифра | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Перевод из восьмеричной системы в двоичную
Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.
Используем таблицу триад:
Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.
Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную
Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.
Используем таблицу тетрад:
| Цифра | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тетрада | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.
Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот
Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.
Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Система счисления
Система счисления — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.
Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:
Типы систем счисления:
Непозиционные системы счисления (СС) характеризуются тем, что для представления какого-либо числа используется определенный набор символов, который изменяется при изменении диапазона представляемых чисел. В качестве типичного примера непозиционной системы счисления обычно приводится римская система счисления, в которой для небольших чисел и коррекции чисел с большим значением используется символ I. Для представления больших чисел приходится вводить новые символы (V, X, C и т.д.).
В позиционных системах счисления значение единицы цифры каждого разряда числа имеет постоянный вес. Этот вес определяется позицией, которую разряд занимает по отношению к запятой:
С этой точки зрения, римская система счисления не является чисто непозиционной, т.к., например, число IV равно четырем, а число VI – шести.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание (базис) p-й позиционной системы счисления – количество знаков, или символов, используемых для изображения числа в данной системе:
| Десятичное число | Эквиваленты в некоторых других системах счисления | |||
|---|---|---|---|---|
| p = 2 | p = 5 | p = 8 | p = 16 | |
| 0 | 0000 | 00 | 00 | 0 |
| 1 | 0001 | 01 | 01 | 1 |
| 2 | 0010 | 02 | 02 | 2 |
| 3 | 0011 | 03 | 03 | 3 |
| 4 | 0100 | 04 | 04 | 4 |
| 5 | 0101 | 10 | 05 | 5 |
| 6 | 0110 | 11 | 06 | 6 |
| 7 | 0111 | 12 | 07 | 7 |
| 8 | 1000 | 13 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 14 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 20 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 21 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 22 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 23 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 24 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 30 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 31 | 18 | 10 |
Для любой позиционной системы счисления основание изображается числом 10 в данной системе.
В общем виде число А в p-ной позиционной системе счисления представляется в виде:
 | ( 6.1) |
При k = Const получается число, носящее, в общем случае, название числа с фиксированной точкой, но имеющее две разновидности:
k=0: правильная дробь – число с фиксированной запятой, то есть правильную дробь
k=r: целое число – число с фиксированной точкой, то есть целое число
При k ≠Const получается число с плавающей запятой.
Представление в виде числа с фиксированной точкой (или ее разновидности – с фиксированной запятой) влияет на диапазон представляемых чисел и их точность.
Микропроцессоры, которые в настоящее время служат основой для построения ЭВМ различных типов, содержат в своем составе как блоки, предназначенные для обработки целых чисел (СPU –CentralPointUnit), так и блоки для обработки чисел с плавающей запятой (FPU – FloatingPointUnit, в силу англоязычной специфики представления дробных чисел целая часть от дробной отделяется не запятой, а точкой). Представление чисел с плавающей запятой включает в себя порядок (целое число) и мантиссу (правильную дробь), которые обрабатываются в отдельных блоках FPU. Поэтому изучение особенностей представления и обработки каждого из типов чисел чрезвычайно важно для изучения устройства ЭВМ, выбора необходимого формата данных как с точки зрения требуемого диапазона, так и допустимой погрешности.
Обсуждение способов кодирования и различных алгоритмов обработки чисел мы будем проводить, в основном, на примере чисел с фиксированной запятой, так как именно в этом формате представляются мантиссы чисел с плавающей запятой, что сказывается на обработке чисел с плавающей запятой в целом. В свою очередь использование чисел с плавающей запятой играет в настоящее время весьма важную роль в процессе человеко-машинного общения, снимая с программиста во многих случаях обязанность по отслеживанию диапазона и точности используемых и получаемых данных.
К тому же числа с фиксированной запятой играют заметную самостоятельную роль в специализированных компьютерах, работающих в определенном диапазоне чисел, повышая при этом быстродействие таких вычислений, что особенно проявилось в ЭВМ второго и третьего поколений.