Перевод чисел в десятичную систему счисления
При переводе чисел из любой системы счисления в десятичную систему используют полином представления числа (1) в Q-й системе счисления, а затем выполняют арифметические операции в десятичной системе счисления, например:
При обратном переводе чисел рассмотрим отдельно два случая перевода: целых и дробных чисел.
Перевод целых чисел из Р-й системы счисления в Q-ю
В соответствии с представлением целого числа в системе Р по основанию в системе Q имеем:
Разделим правую и левую часть на Q в результате получим новую целую часть и дробную часть (остаток):
Проделав тоже самое, но уже с новым целым числом 
получим другой остаток 
и другое целое число, с которым продолжим выполнение предыдущих операций, пока в остатке не получится число 
. Чтобы это получить, исходное число необходимо разделить на Q m+1 раз. При этом получаемый остаток будет описывать число в новой системе счисления Q, начиная с младшего разряда.
Правило перевода:
Исходное число и все его частные нужно делить на основание новой системы счисления, записывая остатки от деления. Числом в новой системе счисления будет совокупность остатков, записанная справа налево.
Пример:Перевести число 9810 из Р-ой (десятичной) системы в Q-ю двоичную систему счисления Q=2.
98: 2=49
остаток 0 (49х2=98; 98-98 =0)
49:2=24
остаток 1 (2х24=48; 49-48=1)
24:2=12
остаток 0 (2х12=24; 24-24=0)
12:2=6
остаток 0 (2х6=12; 12-12=0)
6:2=3
остаток 0 (3х2=6; 6-6=0)
3:2=1
остаток 1 (2х1=2; 3-2=1)
1операции закончены (так как делится число
меньшее, чем основание )
Остаток отображает код двоичного числа в двоичной системе счисления начиная с младшего двоичного разряда:
Проверка осуществляется выполнением обратной операции по полиному (1):
Перевод дробной части
Любое число меньше 1 можно представить полиномом следующего вида:
Правило перевода:
Дробное число и все дробные части его произведений нужно умножать на основание новой системы счисления, записывая только целую часть каждого произведения. Числом в новой системе счисления будет совокупность целых частей, записанная слева направо.
Пример: Перевести дробь 0,6258 из десятичной системы счисления в двоичную.
| 6258× 2=1,2516 → 1 |
| 0,2516 × 2=0,5032 → 0 |
| 0,5032 × 2=1,0064; → 1 |
| 0,0064 × 2 = 0,0128; → 0 |
| 0,0128 * 2 = 0,0256 → 0 |
| 0,0256 * 2 = 0,0512 → 0 |
| 0,0512 * 2 = 0,1024 и т.д. до достижения заданной точности |
Таким образом, двоичное число имеет вид 0,10102 с точность до 4 знаков после запятой.
Выполним проверку перевода по следующему выражению:
С помощью этих правил выполняется перевод целых и дробных чисел из любой Р-й системы счисления в любую Q-ю (при P > Q).
Смешанные системы счисления
Для того, чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, для представления любой Р-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления максимального числа Р-ичной системы.
Так, для изображения числа в двоично-десятичной системе отводятся четыре двоичных разряда, а, например десятичное число 92510 в двоично-десятичной системе запишется в виде:
где последовательные тетрады (четверки) двоичных чисел изображают цифры 9,2,5, записи числа в десятичной системе счисления. При этом видно, что для записи максимального числа десятичной системы 9 требуется четыре двоичных разряда, следовательно и остальные числа этой же десятичной системы должны быть представлены четырьмя разрядами двоичных чисел.
000101012-10 = 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в 8-ю и 16-ю и обратно проще выполнять с помощью сравнительной таблицы 10-й, 2-й, 8-й и 16-й систем счисления, которая получена из двоично-десятичной добавлением к ней 8-ричнного и 16-ричного столбцов
Таблица 1. Сравнительная таблица систем счисления
Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую
Поскольку одно и то же число может быть записано в различных СС, то возможен перевод числа из одной системы в другую. Т.к. самая распространенная СС – десятичная, то необходимо рассмотреть алгоритмы перевода из десятичной системы в другую и обратно.
1. Алгоритм перевода из десятичной СС в другую.
1). Целочисленно разделить исходное число Z(10) на основание новой системы (p) и найти остаток отделения – это будет цифра от 0-го разряда числа Z.
2). Частное от деления снова разделить на P с выделением остатка, процедуру продолжать до тех пор, пока частное не окажется меньше P.
3). Образованные остатки от деления, поставленные в порядке, обратном их получения, и представляют Z(p). Пример:
Итак, 123 (10) = 443 (5).
2. Алгоритм перевода Z(p) в Z(10).
Для этого преобразования используют формулу (1):
Где p – основание СС, k- общее число цифр числа.
443(5)=4*5 2 + 4*5 1 + 3*5 0 = 100+20+3 = 123.
3. Алгоритм перевода дробного числа из десятичной СС в другую систему.
1) Умножить исходную дробь в 10-ной системе на основание P, выделить целую часть – она будет первой цифрой новой дроби, отбросить целую часть.
2) Для оставшейся дробной части операцию умножения с выделение целой и дробной частей повторять, пока в дробной части не окажется 0 или не будет достигнута желаемая точность конечного числа.
3) Записать дробь в виде последовательности цифр после поля с разделителями в порядке их появления.
4. Алгоритм перевода 0.Y(P) в 0.Y(10) сводится к вычислению значения формулы (1).
Арифметические операции в двоичной системе счисления и представление чисел в других системах счисления.
1) Сложение производится согласно таблице сложения, которая для двоичных чисел имеет вид:
2) Умножение производится согласно таблице умножения.
Таким образом, умножение двоичных чисел сводится к операциям сдвига на один двоичный разряд влево и повторения первого сомножителя в тех разрядах, где второй сомножитель содержит 1, и сдвига без повторения с разрядом 0.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод чисел в позиционных системах счисления.
Правила перевода чисел одной системы счисления в систему счисления с другим основанием.
Соответствие между цифрами двоичной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления
| Десятичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная | Двоичная |
| 0 | 0 | 0 | 000 |
| 1 | 1 | 1 | 001 |
| 2 | 2 | 2 | 010 |
| 3 | 3 | 3 | 011 |
| 4 | 4 | 4 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 111 |
| 8 | 10 | 8 | 1000 |
| 9 | 11 | 9 | 1001 |
| 10 | 12 | A | 1010 |
| 11 | 13 | B | 1011 |
| 12 | 14 | C | 1100 |
| 13 | 15 | D | 1101 |
| 14 | 16 | E | 1110 |
| 15 | 17 | F | 1111 |
Десятичное значение числа, представленного конечной дробью (дробного числа), в n-ичной системе счисления amam–1…a1a0,a–1a–2…a–k, где «,» – разделитель целой и дробной частей; ai, i = –k, m; с явным указанием основания системы счисления (amam–1…a1a0,a–1a–2…a–k)n, определяется по формуле
amn m + am–1n m–1 + … + a1n 1 + a0n 0 + a–1n –1 + a–2n –2 + … + a–kn – k = 
.
Пример: Перевести число A50D,0B16 в десятичную систему счисления.
10×16 3 + 5×16 2 + 0×16 1 + 13×16 0 + 0×16 –1 + 11×16 –2 =10×4096 + 5×256 + 13×1 + 11×0,00390625 = 42448,04296875.
Очевидно, что цифру 0 при переводе чисел можно опускать.
Правила перевода числа в другую, не десятичную систему счисления различаются для целых и дробных чисел.
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод целого числа X:
1) получить цифру числа n-ой системы счисления как остаток от деления числа X на основание новой системы счисления n; полученную цифру приписать слева от имеющихся цифр;
2) принять за X частное от деления числа X на основание системы счисления n;
3) выполнять шаги 1-2, пока X ¹ 0.
Пример : Перевести число 25 в двоичную систему счисления.
Решение: Удобно представить перевод числа в виде столбца, каждая строка которого содержит частное и остаток от деления числа X на основание двоичной системы счисления n = 2.
В результате получим число 110012 – результат перевода числа 25 в двоичную систему счисления.
б) Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления.
Каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется тетрадой (четырьмя битами), являющейся представлением этой цифры в двоичной системе счисления.
Пример: Перевести число 3BC16 в двоичную систему счисления.
Решение: Цифра 316 представляется числом 00112, B16 – 10112, C16 – 11002. Тогда результат перевода числа 3BC16 в двоичную систему счисления будет равен 0011101111002.
в) Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления.
Двоичное число делится на тетрады справа налево. Каждая тетрада заменяется соответствующей ей цифрой. Если самая левая тетрада неполная, то есть содержит меньше четырех цифр, то слева от числа дописываются нули.
Пример: Перевести число 11101111002 в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение: Разделим число на тетрады и поставим в соответствие каждой тетраде шестнадцатеричную цифру. В самой левой тетраде только две единицы, поэтому дополним ее слева двумя нулями.
В результате получаем число 3BC16.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую.
Если при переводе конечной дроби в другую систему счисления получается конечная дробь, то такой перевод называется точным. Если при переводе получается бесконечная дробь, тогда перевод называется приближенным.
Дробное число X, у которого целая часть равна 0, переводится из десятичной в n-ую систему счисления по следующему алгоритму: 1) умножить X на n; 2) получить цифру как целую часть числа X и приписать ее справа от имеющихся цифр; 3) обнулить целую часть числа X; 4) выполнять шаги 1-3, пока X ¹ 0 (при точном переводе) или до получения нужного количества цифр в дробной части (при приближенном переводе с заданной точностью).
Пример: Перевести число 0,6875 в двоичную систему счисления.
На последнем шаге перевода получена единица. После обнуления целой части получим 0. Значит, перевод закончен. Результат перевода числа 0,6875 в двоичную систему счисления – число 0,10112.
Если бы нам было необходимо получить дробную часть с точностью до 3 знаков, то процесс перевода был бы остановлен после получения 3 цифр в дробной части.
При переводе дробных чисел из десятичной в n-ую систему счисления отдельно переводятся целая и дробная части.
Пример : Перевести число 25,6875 в двоичную систему счисления.
Решение: Перевод целой и дробной частей был выполнен в примерах.
Объединим результаты перевода в одно число: 25,6875 = 11001,10112.
Десятичная система счисления может использоваться в качестве промежуточного этапа при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Приведенные правила позволяют перевести числа из одной системы счисления в десятичную, а из нее – в любую другую системы счисления.
Дата добавления: 2018-10-26 ; просмотров: 181 ;