Правила перевода в позиционных системах счисления

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Исходя из, вышеизложенного, запишем правило перевода целых чисел из одной позиционной системы в другую: для перевода целого числа из одной позиционной системы

Исходя из, вышеизложенного, запишем правило перевода целых чисел из одной позиционной системы в другую: для перевода целого числа из одной позиционной системы в другю его надо последовательно делить на основание новой системы до тех пор„ пока не получится частное, у которого целая часть равна 0. Число в новой системе счисления записывается из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа. Заметим, что вычисления, осуществляемые по этому правилу, должны выполняться в исходной системе счисления.

Пример 1.Перевести из десятичной системы в двоичную целое число Х= 118.

Решение. Производим последовательное деление исходного числа:

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему его следует разбить на триады, начиная от запятой, а затем каждую триаду заменить ее восьмеричным эквивалентом. Если последние (левая и правая) триады получатся непол­ными, то их следует дополнить нулями.

Пример 3.Перевести двоичное число Х= 1110110,011₍₂₎в восьмеричную систему счисления.

О т в е т: X=001 110 110, 011₍₂₎= 166,3₍₈₎.

Пример 4. Перевести десятичное число X=118,375₍₁₀₎ в шестнадцатеричную.

Решение. Перевод в шестнадцатеричную систему:

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему его следует разбить на тетрады, начиная от запятой, а затем каждую тетраду заменить шестнадцатеричным ее эквивалентом. Если последние (левая и правая) тетрады получатся непол­ными, то их следует дополнить нулями.

Пример 5.Перевести двоичное число Х= 1110110₍₂₎в шестнадцатеричную систему счисления.

Если же перевод осуществляется из недесятичной системы, то ввиду ее непривычности для человека производство в ней арифметических действий значительно затруднено. В этом случае для преобразования чисел можно воспользоваться фор­мулой (1) При этом расчеты ведутся в новой системе счисления.

Пример 6.Перевести из двоичной системы в десятичную целое число

Решение. Записываем число X в виде суммы произведений степеней основания на соответствующую цифру по формуле (1.4) в десятичной си­стеме счисления, после чего производим необходимые расчеты (умножение и сложение полученных произведений):

Х= 1110110

X= 1110110=

Восьмеричный и шестнадцатеричный коды используются в основном для более краткой формы записи двоичных чисел и самостоятельного применения не имеют.

Источник

Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Система счисления

Система счисления — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.

Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:

Типы систем счисления:

Непозиционные системы счисления (СС) характеризуются тем, что для представления какого-либо числа используется определенный набор символов, который изменяется при изменении диапазона представляемых чисел. В качестве типичного примера непозиционной системы счисления обычно приводится римская система счисления, в которой для небольших чисел и коррекции чисел с большим значением используется символ I. Для представления больших чисел приходится вводить новые символы (V, X, C и т.д.).

В позиционных системах счисления значение единицы цифры каждого разряда числа имеет постоянный вес. Этот вес определяется позицией, которую разряд занимает по отношению к запятой:

С этой точки зрения, римская система счисления не является чисто непозиционной, т.к., например, число IV равно четырем, а число VI – шести.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание (базис) p-й позиционной системы счисления – количество знаков, или символов, используемых для изображения числа в данной системе:

Для любой позиционной системы счисления основание изображается числом 10 в данной системе.

В общем виде число А в p-ной позиционной системе счисления представляется в виде:

( 6.1)

При k = Const получается число, носящее, в общем случае, название числа с фиксированной точкой, но имеющее две разновидности:

k=0: правильная дробь – число с фиксированной запятой, то есть правильную дробь

k=r: целое число – число с фиксированной точкой, то есть целое число

При k ≠Const получается число с плавающей запятой.

Представление в виде числа с фиксированной точкой (или ее разновидности – с фиксированной запятой) влияет на диапазон представляемых чисел и их точность.

Микропроцессоры, которые в настоящее время служат основой для построения ЭВМ различных типов, содержат в своем составе как блоки, предназначенные для обработки целых чисел (СPU –CentralPointUnit), так и блоки для обработки чисел с плавающей запятой (FPU – FloatingPointUnit, в силу англоязычной специфики представления дробных чисел целая часть от дробной отделяется не запятой, а точкой). Представление чисел с плавающей запятой включает в себя порядок (целое число) и мантиссу (правильную дробь), которые обрабатываются в отдельных блоках FPU. Поэтому изучение особенностей представления и обработки каждого из типов чисел чрезвычайно важно для изучения устройства ЭВМ, выбора необходимого формата данных как с точки зрения требуемого диапазона, так и допустимой погрешности.

Обсуждение способов кодирования и различных алгоритмов обработки чисел мы будем проводить, в основном, на примере чисел с фиксированной запятой, так как именно в этом формате представляются мантиссы чисел с плавающей запятой, что сказывается на обработке чисел с плавающей запятой в целом. В свою очередь использование чисел с плавающей запятой играет в настоящее время весьма важную роль в процессе человеко-машинного общения, снимая с программиста во многих случаях обязанность по отслеживанию диапазона и точности используемых и получаемых данных.

К тому же числа с фиксированной запятой играют заметную самостоятельную роль в специализированных компьютерах, работающих в определенном диапазоне чисел, повышая при этом быстродействие таких вычислений, что особенно проявилось в ЭВМ второго и третьего поколений.

Источник

Правила перевода в позиционных системах счисления

Пример 3.1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Пример 3.2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

Пример 3.3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

Пример 3.4. Выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления. Имеем:
13₁₆ = 1*16 1 + 3*16 0 = 16 + 3 = 19.
Таким образом, 13₁₆ = 19.

Пример 3.5. Выполнить перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления. Имеем:
10011₂ = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16+0+0+2+1 = 19.
Таким образом, 10011₂ = 19.

Пример 3.6. Выполнить перевод числа 10011₂ в шестнадцатеричную систему счисления.
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

Пример 3.7. Выполнить перевод числа 13₁₆ в двоичную систему счисления.
По таблице имеем: 1₁₆ = 1₂ и после дополнения незначащими нулями 1₂ = 0001₂; 3₁₆ = 11₂ и после дополнения незначащими нулями 11₂ = 0011₂. Тогда 13₁₆ = 00010011₂. После удаления незначащих нулей имеем 13₁₆ = 10011₂.

В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.
Таким образом, 0,847 = 0,1101₂.

Пример 3.9. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0,847 = 0,D8D₂.

3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: