Правило перевода десятичной дроби в двоичную систему

Пример 3.13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,0010101₂.
Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль: 0,0010101₂ = 0,00101010₂. В соответствии с таблицей 0010₂ = 10₂ = 2₁₆ и 1010₂ = A₁₆. Тогда имеем 0,0010101₂ = 0,2A₁₆.

Пример 3.15. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.
Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:
19,847 = 19 + 0,847.
Как следует из примера 3.2, 19 = 13₁₆; а в соответствии с примером 3.9 0,847 = 0,D8D₁₆. Тогда имеем:
19 + 0,847 = 13₁₆ + 0,D8D₁₆ = 13,D8D₁₆.
Таким образом, 19,847 = 13,D8D₁₆.

Источник

Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную

Перевод чисел из различных систем счисления в двоичную сводится к их представлению в виде различных комбинаций двух цифровых символов этой системы – 0 и 1. Для перевода из десятичной системы в двоичную чаще всего используется метод последовательного деления на 2, где 2 – это разряд двоичного кода аналогично 10 в десятичном счислении.

Однако этот метод подходит при переводе целых чисел, для дробей же используют, напротив, умножение. А именно умножают дробную часть на 2 последовательно до тех пор, пока не появится целая часть. При этом удачное умножение, дающее в результате число, большее 1, приносит итоговому двоичному числу цифру 1. А неудачное, после которого число все еще меньше 1, дает цифру 0. При этом цифры дроби в двоичном виде записываются после запятой также, как в исходной десятичной.

3Рассмотрим этот немудреный способ на конкретном примере. Для начала возьмите простую десятичную дробь 0,2. Умножайте последовательно на 2:0,2*2 = 0,4 => 0,0_2;0,4*2 = 0,8 => 0,00_2;0,8*2 = 1,6 => 0,001_2;

Отбросьте целую часть и продолжайте те же действия:0,6*2 = 1,2 => 0,0011_2;Снова отбросьте целую часть и вы вернетесь к числу 0,2. Двоичная дробь оказалась цикличной, т.е. повторяющейся, сокращенно запишите:0,2_10 = 0,(0011)_2, где скобки указываются на повторяемость одной и той же группы цифр.

Таким образом,для перевода в двоичную систему дроби с целой частью сначала переводится именно она, а потом уже число после запятой. Например, переведите число 9,25.Для перевода целой части воспользуйтесь методом последовательного деления: 9/2 = 4 и 1 в остатке;4/2 = 2 и 0 в остатке;2/2 = 1 и 0 в остатке;½ = 0 и 1 в остатке. Запишите полученные остатки справа налево: 9_10 = 1001_2.

6Теперь переведите дробную часть:0,25*2 = 0,5 => 0;0,5*2 = 1 => 1.На этот раз вам повезло, дробь оказалась не цикличной. Запишите итог:9,25_10 = 1001,01_2.

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2. Например, переведём десятичную дробь 0,625 в двоичную систему счисления. Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.

0,625 · 2 = 1,250 (целая часть равна 1);

0,250 · 2 = 0,500 (целая часть равна 0);

0,500 · 2 = 1,000 (целая часть равна 1).

Дробная часть последнего произведения равна 0. Перевод закончен. Записываем в одну строку полученное значение целой части, начиная с первой цифры: 0,62510 = 0,1012. Каждый раз в умножении участвует только дробная часть десятичного числа.

Правило перевода: Чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2. В качестве следующей цифры взять целую часть этого произведения, а дробную часть произведения снова умножить на 2 и т.д.

При переводе десятичной дроби в двоичную может получиться периодическая дробь.

Пример. Переведем десятичную дробь 0,3 в двоичную систему счисления.

0,3 · 2 = 0,6 (целая часть равна 0);

0,6 · 2 = 1,2 (целая часть равна 1);

0,2 · 2 = 0,4 (целая часть равна 0);

0,4 · 2 = 0,8 (целая часть равна 0);

0,8 · 2 = 1,6 (целая часть равна 1);

0,6 · 2 = 1,2 (целая часть равна 1);

Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений, поэтому вычисления начнут повторяться. Следовательно, в двоичной системе счисления число 0,3 представляется периодической дробью.

Ответ: 0,310 = 0,0(1001)2.

Перевод конечных дробей в позиционных системах счисления

Для перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием S нужно умножать исходную дробь последовательно на основание системы счисления S. Полученные в результате умножения целые части произведения являются соответствующими разрядами дробного числа в системе счисления с основанием S.

Перевод правильной конечной р-ичной дроби в десятичную систему счисленияосуществляется аналогично переводу целого числа через развернутую форму представления числа.

Замечание.

При вычислении десятичного значения р-ичной дроби по развернутой форме с использованием калькулятора также целесообразно пользоваться схемой Горнера, что минимизирует количество арифметических действий и исключает возведение в степень.

Алгоритм перевода конечной р-ичной дроби в десятичную СС:

1. Целая часть числа переводится в десятичную систему отдельно от дробной части, согласно правилам перевода.

2. Каждая цифра дробной части р-ичного числа переводится в десятичную систему.

3. Полученные числа нумеруются слева направо, начиная с единицы.

4. Число Р переводится в десятичную систему.

Контрольные вопросы:

1. Что обеспечивает система счисления?

2. Какая система счисления называется позиционной?

3. Какая система счисления называется непозиционной?

4. Какое равенство отожествляется с позиционной системой счисления?

5. Приведите примеры позиционных и непозиционных систем счисления.

6. Какая арифметика называется недесятичной?

7. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в двоичной системе счисления?

8. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в восьмеричной системе счисления?

9. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в шестнадцатеричной системе счисления?

Источник